Üçgenler
LGS sınavında her yıl 2-3 soru gelen Üçgenler konusunu kapsamlı şekilde öğrenin. Üçgen eşitsizliği, alan hesaplama, benzerlik ve Pisagor bağıntısı.
Bu Derste Neler Öğreneceksin?
- ✓ Üçgenin temel özelliklerini ve türlerini bilme
- ✓ Üçgen eşitsizliğini uygulayabilme
- ✓ Pisagor bağıntısını kullanabilme
- ✓ Üçgenlerde alan hesaplayabilme
- ✓ Benzer üçgenlerin özelliklerini kullanabilme
Üçgenin Temel Özellikleri
Üçgen, üç doğru parçasıyla sınırlanan kapalı düzlemsel şekildir.
Kenarlarına göre üçgenler:
Eşkenar üçgen: Üç kenarı eşit, her açısı 60°
İkizkenar üçgen: İki kenarı eşit, taban açıları eşit
Çeşitkenar üçgen: Üç kenarı farklı
Açılarına göre üçgenler:
Dar açılı: Üç açısı da 90°'den küçük
Dik açılı: Bir açısı 90°
Geniş açılı: Bir açısı 90°'den büyük
Temel özellikler:
İç açılar toplamı = 180°
Dış açılar toplamı = 360°
Bir dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir
Üçgen Eşitsizliği
Bir üçgende herhangi bir kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır.
Formül: |a - b| < c < a + b
Örnek: Kenarları 5, 8 ve x olan bir üçgende x kaç olabilir?
|5 - 8| < x < 5 + 8
3 < x < 13
x; 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 olabilir (tam sayı ise 9 farklı değer).
Kenar-Açı ilişkisi:
Büyük kenarın karşısındaki açı büyüktür.
a > b > c ise A > B > C
Pisagor Bağıntısı
Dik üçgende hipotenüsün (en uzun kenar) karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşittir.
Formül: a² + b² = c² (c: hipotenüs)
Yaygın Pisagor üçlüleri (ezberleyin!):
3, 4, 5 (ve katları: 6-8-10, 9-12-15...)
5, 12, 13
8, 15, 17
7, 24, 25
Ters Pisagor: Üçgenin türünü belirleme:
a² + b² = c² → Dik üçgen
a² + b² > c² → Dar açılı üçgen
a² + b² < c² → Geniş açılı üçgen
📝 Pisagor Örnek Sorusu
Soru: Dik kenarları 6 cm ve 8 cm olan dik üçgenin hipotenüsünü bulunuz.
Çözüm:
c² = a² + b²
c² = 6² + 8²
c² = 36 + 64
c² = 100
c = 10 cm
Soru 2: Kenarları 5, 7, 9 olan üçgen ne tür bir üçgendir?
5² + 7² ? 9²
25 + 49 ? 81
74 < 81 → Geniş açılı üçgen
Üçgende Alan
Temel formül: Alan = (taban × yükseklik) / 2
Dik üçgende: Alan = (a × b) / 2 (a, b: dik kenarlar)
Eşkenar üçgende: Alan = (a² × √3) / 4
Önemli özellikler:
Aynı tabanı ve yüksekliği paylaşan üçgenlerin alanları eşittir
Bir üçgenin kenar ortayları üçgeni 6 eşit alanlı üçgene böler
Ağırlık merkezi, kenar ortaylarının kesişim noktasıdır ve her ortayı 2:1 oranında böler
Benzerlik
Karşılıklı açıları eşit olan üçgenler benzerdir. Benzer üçgenlerde:
Kenar oranları eşittir:
ABC ~ DEF ise: AB/DE = BC/EF = AC/DF = k (benzerlik oranı)
Alan oranı: Kenar oranının karesidir.
Alan₁/Alan₂ = k²
Çevre oranı: Kenar oranına eşittir.
Çevre₁/Çevre₂ = k
Benzerlik koşulları:
1. AA (Açı-Açı): İki açısı eşit olan üçgenler
2. KAK (Kenar-Açı-Kenar): İki kenar orantılı, aralarındaki açı eşit
3. KKK (Kenar-Kenar-Kenar): Üç kenar orantılı
💡 Sınav Stratejisi
Üçgenler LGS'de 2-3 soru ile en çok soru gelen geometri konusudur.
Ezberlenmesi gerekenler:
Pisagor üçlüleri: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17
İç açılar toplamı = 180°
Dış açı = Komşu olmayan iki iç açı toplamı
Sık çıkan soru tipleri:
1. Pisagor bağıntısı ile kenar bulma
2. Üçgen eşitsizliği ile kenar aralığı
3. Benzerlik oranı ile alan/kenar hesabı
4. Açı-kenar ilişkisi soruları