Çarpanlar ve Katlar
LGS sınavında her yıl düzenli olarak soru gelen Çarpanlar ve Katlar konusunu detaylıca öğrenin. EBOB, EKOK hesaplama yöntemleri, asal çarpanlara ayırma ve problem çözme stratejileri.
Bu Derste Neler Öğreneceksin?
- ✓ Bir doğal sayının çarpanlarını ve katlarını bulabilme
- ✓ Asal sayıları tanıyabilme ve asal çarpanlara ayırma yapabilme
- ✓ Bölünebilme kurallarını uygulayabilme
- ✓ EBOB ve EKOK hesaplayabilme
- ✓ Günlük hayat problemlerinde EBOB-EKOK kullanabilme
Çarpan ve Kat Kavramı
Matematikte çarpan ve kat kavramları birbirine bağlı iki temel kavramdır.
Çarpan: Bir sayıyı kalansız bölen sayılara, o sayının çarpanları denir.
Örneğin 12'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Kat: Bir sayının doğal sayılarla çarpılmasıyla elde edilen sayılara, o sayının katları denir.
Örneğin 5'in katları: 5, 10, 15, 20, 25, 30…
Önemli İlişki: Eğer A sayısı B'nin katıysa, B de A'nın çarpanıdır.
Örneğin: 12, 4'ün katıdır → 4, 12'nin çarpanıdır.
Her doğal sayının en küçük çarpanı 1, en büyük çarpanı kendisidir.
Asal Sayılar ve Asal Çarpanlara Ayırma
Asal sayı: 1 ve kendisinden başka pozitif çarpanı olmayan, 1'den büyük doğal sayılardır.
İlk 10 asal sayı: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
Dikkat: 1 asal sayı değildir! 2, tek çift asal sayıdır.
Asal çarpanlara ayırma, bir sayıyı asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaktır.
Örnek: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
Yöntem: Sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye devam edin:
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1
Bu yöntem EBOB ve EKOK hesaplamalarının temelidir.
💡 Asal Sayı İpucu
Bir sayının asal olup olmadığını kontrol etmek için, o sayının kareköküne kadar olan asal sayılarla bölünüp bölünmediğine bakmanız yeterlidir.
Örneğin 97 asal mıdır? √97 ≈ 9,8 → 2, 3, 5, 7 ile bölünmüyor → 97 asaldır!
Sınavda en çok sorulan hata: 1'i asal saymak veya 2'nin asal olmadığını düşünmektir.
Bölünebilme Kuralları
Bölünebilme kuralları, bir sayının belirli bir sayıya kalansız bölünüp bölünmediğini hızlıca anlamanızı sağlar.
2 ile bölünme: Son rakam çift (0, 2, 4, 6, 8) ise bölünür
3 ile bölünme: Rakamları toplamı 3'ün katıysa bölünür
4 ile bölünme: Son iki basamağı 4'ün katıysa bölünür
5 ile bölünme: Son rakam 0 veya 5 ise bölünür
6 ile bölünme: Hem 2 hem 3 ile bölünüyorsa bölünür
8 ile bölünme: Son üç basamağı 8'in katıysa bölünür
9 ile bölünme: Rakamları toplamı 9'un katıysa bölünür
10 ile bölünme: Son rakam 0 ise bölünür
11 ile bölünme: Tek ve çift basamaklardaki rakamlar toplamı farkı 0 veya 11'in katıysa bölünür
📝 Bölünebilme Örnek Soru
Soru: 4A2B sayısı hem 9'a hem 4'e bölünebiliyorsa A + B toplamı kaç olabilir?
Çözüm:
9'a bölünme → Rakamlar toplamı 9'un katı olmalı: 4 + A + 2 + B = 6 + A + B → 9'un katı olmalı
Yani A + B = 3 veya A + B = 12
4'e bölünme → Son iki basamak (2B) 4'ün katı olmalı: 20, 24, 28 → B = 0, 4 veya 8
A + B = 3 ve B = 0 ise A = 3 ✓
A + B = 3 ve B = 4 ise A = -1 ✗
A + B = 12 ve B = 4 ise A = 8 ✓
A + B = 12 ve B = 8 ise A = 4 ✓
Cevap: A + B = 3 veya 12 olabilir.
EBOB (En Büyük Ortak Bölen)
İki veya daha fazla sayının ortak çarpanlarından en büyüğüne EBOB denir.
Hesaplama Yöntemi:
1. Sayıları asal çarpanlarına ayırın
2. Ortak asal çarpanları belirleyin
3. Ortak çarpanların en küçük kuvvetlerini çarpın
Örnek: EBOB(24, 36)
24 = 2³ × 3
36 = 2² × 3²
Ortak çarpanlar: 2 ve 3
En küçük kuvvetler: 2² ve 3¹
EBOB = 2² × 3 = 4 × 3 = 12
EBOB ne zaman kullanılır?
Eşit gruplara bölme problemleri
En büyük ortak ölçü bulma
Kesirleri sadeleştirme
EKOK (En Küçük Ortak Kat)
İki veya daha fazla sayının ortak katlarından en küçüğüne EKOK denir.
Hesaplama Yöntemi:
1. Sayıları asal çarpanlarına ayırın
2. Tüm asal çarpanları (ortak olmayanlar dahil) belirleyin
3. Her çarpanın en büyük kuvvetini çarpın
Örnek: EKOK(12, 18)
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
Tüm çarpanlar: 2 ve 3
En büyük kuvvetler: 2² ve 3²
EKOK = 2² × 3² = 4 × 9 = 36
Önemli formül: EBOB(a,b) × EKOK(a,b) = a × b
EKOK ne zaman kullanılır?
Birlikte çalışma/buluşma problemleri
Tekrarlayan olay problemleri
Kesirlerde ortak payda bulma
📝 EBOB-EKOK Örnek Soru
Soru: Bir bahçenin uzunluğu 48 m, genişliği 36 m'dir. Bu bahçeye eşit aralıklarla ve köşelerden başlayarak ağaç dikilecektir. En az kaç ağaç dikilmelidir?
Çözüm:
Eşit aralık → EBOB kullanılır
EBOB(48, 36):
48 = 2⁴ × 3
36 = 2² × 3²
EBOB = 2² × 3 = 12 m
Çevre = 2 × (48 + 36) = 168 m
Ağaç sayısı = 168 ÷ 12 = 14 ağaç
📝 EKOK Günlük Hayat Sorusu
Soru: Ali 6 günde bir, Ayşe 8 günde bir kütüphaneye gidiyor. İkisi bugün kütüphanede karşılaştılarsa, kaç gün sonra tekrar karşılaşırlar?
Çözüm:
Tekrarlayan olay → EKOK kullanılır
EKOK(6, 8):
6 = 2 × 3
8 = 2³
EKOK = 2³ × 3 = 24
Cevap: 24 gün sonra tekrar karşılaşırlar.
💡 EBOB mu EKOK mu?
Sınavda en kritik karar: EBOB mi, EKOK mu kullanmalı?
EBOB kullanın:
"Eşit gruplara bölme" deniyorsa
"En büyük" ifadesi geçiyorsa
"Kalansız bölme" isteniyorsa
EKOK kullanın:
"Birlikte", "aynı anda" ifadeleri varsa
"En küçük" veya "en az" deniyorsa
"Tekrar buluşma/karşılaşma" soruluyorsa
Bu ayrımı yapabilmek sınavda 1-2 soru kazandırır!
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
1. EBOB-EKOK karıştırmak: EBOB'da ortak çarpanların EN KÜÇÜK kuvveti, EKOK'ta tüm çarpanların EN BÜYÜK kuvveti alınır.
2. Asal çarpanlara ayırmada hata: Bölme işlemini sonuna kadar yapın, 1 kalana dek devam edin.
3. 1'i asal saymak: 1 asal sayı DEĞİLDİR.
4. Bölünebilme kurallarını karıştırmak: 3 ile bölünme "rakamlar toplamı", 4 ile bölünme "son iki basamak" kuralıdır.
LGS Sınav Stratejisi
Çarpanlar ve Katlar, LGS'de her yıl 1-3 soru gelen ağırlıklı bir konudur. 2020 ve 2021'de 3'er soru gelmiştir!
Strateji:
1. Bölünebilme kurallarını kesinlikle ezberleyin
2. EBOB-EKOK farkını net bilin
3. Asal çarpanlara ayırma pratiği yapın
4. Problem tiplerini (bölme/buluşma) tanıyın
Bu konu, doğru çalışıldığında LGS'de en çok puan getiren konulardan biridir. Formülleri ve yöntemleri otomatikleştirene kadar pratik yapın!