Çarpanlar ve Katlar
6. Sınıf Çarpanlar ve Katlar ünitesinde, bir doğal sayının çarpanlarını, asal sayıları ve bölünebilme kurallarını öğreniyoruz.
Bu Derste Neler Öğreneceksin?
- ✓ Bir doğal sayının çarpanlarını (bölenlerini) bulabilme
- ✓ 2, 3, 4, 5, 6, 9 ve 10 ile bölünebilme kurallarını kavrayabilme
- ✓ Asal sayıları ve asal çarpanları ayırt edebilme
- ✓ İki doğal sayının ortak bölenlerini ve ortak katlarını belirleyebilme
Çarpanlar ve Katlar Nedir?
Her doğal sayı, iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu iki sayıdan her birine o sayının çarpanı (bölenleri) denir. Bir sayının çarpanları aynı zamanda o sayıyı tam (kalansız) bölen sayılardır.
Örnek: 18 sayısının çarpanlarını bulalım:
1 × 18 = 18
2 × 9 = 18
3 × 6 = 18
Buradan 18'in çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, 18'dir. Bu sayılar aynı zamanda 18'i tam böler.
Bir sayının katları ise o sayının sırasıyla 1, 2, 3, 4... gibi sayılarla çarpılmasıyla elde edilen sayılardır.
Örnek: 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, 36...
Bölünebilme Kuralları
Büyük sayıların bazı sayılara bölünüp bölünmediğini pratik yoldan anlamamızı sağlayan kurallardır:
2 ile Bölünebilme: Birler basamağı çift rakam (0, 2, 4, 6, 8) olan sayılar 2 ile kalansız bölünür.
3 ile Bölünebilme: Rakamlarının toplamı 3 veya 3'ün katı olan sayılar 3 ile kalansız bölünür.
4 ile Bölünebilme: Son iki basamağı 00 veya 4'ün katı olan sayılar 4 ile kalansız bölünür.
5 ile Bölünebilme: Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar 5 ile kalansız bölünür.
6 ile Bölünebilme: Hem 2 hem de 3 ile kalansız bölünebilen sayılar 6 ile kalansız bölünür.
9 ile Bölünebilme: Rakamlarının toplamı 9 veya 9'un katı olan sayılar 9 ile kalansız bölünür.
10 ile Bölünebilme: Birler basamağı 0 olan sayılar 10 ile kalansız bölünür.
💡 Zihin Haritası
Bölünebilme kuralları sorularında "en büyük" veya "en küçük" değerler istenir. Örneğin bir sayı hem 5 hem de 4 ile tam bölünüyorsa, birler basamağı 5'e bölünme kuralı gereği 0 veya 5 olmalıdır, ancak 4 ile bölünmesi için çift olması gerektiğinden birler basamağı kesinlikle 0 olmalıdır. Bu tarz ipuçları soruları çok hızlı çözdürür!
Asal Sayılar ve Asal Çarpanlar
1 ve kendisinden başka böleni (çarpanı) olmayan, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir.
En küçük asal sayı 2'dir. 2'den başka çift asal sayı yoktur.
İlk asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...
Bir doğal sayının çarpanlarından asal olanlarına o sayının asal çarpanları denir. Asal çarpanları bulmak için iki yöntem kullanılır:
1. Çarpan Ağacı Yöntemi
2. Bölen Listesi (Asal Çarpanlar Algoritması): Sayının yanına dikey bir çizgi çekilerek en küçük asal sayıdan başlanarak bölünür.
📝 Örnek Soru
Soru: 60 sayısının asal çarpanlarını bölen listesiyle bulalım.
Çözüm:
60 | 2
30 | 2
15 | 3
5 | 5
1
60'ın asal çarpanları 2, 3 ve 5'tir. Üslü gösterimi: 60 = 22 × 3 × 5 şeklindedir.
Ortak Bölenler ve Ortak Katlar
İki veya daha fazla doğal sayıyı aynı anda bölen sayılara bu sayıların ortak bölenleri denir. Benzer şekilde, sayıların katları arasında aynı olan sayılara bu sayıların ortak katları denir.
Örnek: 12 ve 18 sayılarının:
12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12
18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Ortak bölenleri: 1, 2, 3, 6 (En büyüğü 6'dır).
12'nin katları: 12, 24, 36, 48, 60, 72...
18'in katları: 18, 36, 54, 72, 90...
Ortak katları: 36, 72, 108... (En küçüğü 36'dır).