Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler
LGS sınavında düzenli soru gelen Cebirsel İfadeler ve Özdeşlikler konusunu öğrenin. Çarpanlara ayırma, özdeşlik formülleri ve cebirsel ifadelerde dört işlem.
Cebirsel İfade Nedir?
Cebirsel ifade, sayılar ve harflerden (değişkenlerden) oluşan matematiksel ifadedir.
Örnekler:
3x + 5 → bir bilinmeyenli, birinci dereceden
2x² - 4x + 1 → bir bilinmeyenli, ikinci dereceden
5ab + 2a → iki bilinmeyenli
Terim: Cebirsel ifadede + veya - işareti ile ayrılan parçalara terim denir.
3x² - 5x + 7 ifadesinde 3 terim vardır: 3x², -5x ve 7
Katsayı: Değişkenin önündeki sayıya katsayı denir.
4x²'de katsayı 4, x'in katsayısı 1'dir (yazılmaz).
Benzer terimler: Değişken ve üsleri aynı olan terimlere denir.
3x² ve 5x² benzer terimlerdir, toplanabilir: 8x²
Cebirsel İfadelerde İşlemler
Toplama/Çıkarma: Sadece benzer terimler toplanıp çıkarılabilir.
(3x² + 2x - 1) + (5x² - 4x + 3)
= 8x² - 2x + 2
Çarpma: Her terim diğer ifadenin her terimiyle çarpılır.
(2x + 3)(x - 4)
= 2x·x + 2x·(-4) + 3·x + 3·(-4)
= 2x² - 8x + 3x - 12
= 2x² - 5x - 12
Bir sayıyla çarpma:
3(2x² - 5x + 1) = 6x² - 15x + 3
Temel Özdeşlikler
Özdeşlikler, her değer için doğru olan eşitliklerdir. LGS'de en çok kullanılan 3 özdeşlik:
1. İki Terimin Toplamının Karesi:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Örnek: (x + 3)² = x² + 6x + 9
2. İki Terimin Farkının Karesi:
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Örnek: (2x - 5)² = 4x² - 20x + 25
3. İki Kare Farkı:
(a + b)(a - b) = a² - b²
Örnek: (x + 4)(x - 4) = x² - 16
Bu üç formülü kesinlikle ezberleyin!
📝 Özdeşlik Örnek Soruları
Soru 1: (3x + 2)² ifadesini açınız.
Çözüm: a=3x, b=2 → (3x)² + 2·(3x)·2 + 2² = 9x² + 12x + 4
Soru 2: 99² işlemini özdeşlik ile hesaplayınız.
Çözüm: 99² = (100 - 1)² = 10000 - 200 + 1 = 9801
Soru 3: 51 × 49 işlemini özdeşlik ile hesaplayınız.
Çözüm: (50 + 1)(50 - 1) = 50² - 1² = 2500 - 1 = 2499
Çarpanlara Ayırma
Çarpanlara ayırma, bir cebirsel ifadeyi çarpım şeklinde yazmaktır. Açma işleminin tersidir.
1. Ortak çarpan parantezine alma:
6x² + 9x = 3x(2x + 3)
2. Özdeşlik ile çarpanlara ayırma:
x² + 6x + 9 = (x + 3)² → toplam karesi
x² - 16 = (x + 4)(x - 4) → iki kare farkı
3. Gruplama yöntemi:
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
4. İkinci dereceden üç terimli:
x² + 5x + 6 → çarpımı 6, toplamı 5 veren: 2 ve 3
= (x + 2)(x + 3)
📝 Çarpanlara Ayırma Örneği
Soru: x² - 7x + 12 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
Çarpımı 12, toplamı -7 veren iki sayı: -3 ve -4
(-3) × (-4) = 12 ✓
(-3) + (-4) = -7 ✓
x² - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)
Kontrol: (x-3)(x-4) = x² - 4x - 3x + 12 = x² - 7x + 12 ✓
💡 Sınav Stratejisi
LGS'de cebirsel ifade soruları genellikle şu şekilde gelir:
1. Bir ifadeyi açıp sadeleştirme
2. Özdeşlik kullanarak sayısal hesap (101², 47×53 gibi)
3. Çarpanlara ayırma ile sadeleştirme
Özdeşlikleri hem açma hem çarpanlara ayırma yönünde kullanmayı bilin. Sınavda zaman kazandırır!
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
1. (a + b)² = a² + b² sanmak:
YANLIŞ! Doğrusu: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Ortadaki terimi unutmayın!
2. Benzer olmayan terimleri toplamak:
3x² + 5x ≠ 8x³ ✗ → Bu iki terim toplanamaz!
3. Çarpanlara ayırmada kontrol yapmamak:
Her zaman çarpanları tekrar açarak kontrol edin.