Kareköklü İfadeler
LGS sınavında her yıl 2-3 soru gelen Kareköklü İfadeler konusunu kapsamlı şekilde öğrenin. Karekök hesaplama, kareköklü sayılarda işlemler ve denklem çözümleri.
Karekök Nedir?
Bir sayının karekökü, kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren pozitif sayıdır.
Tanım: √a = b ise b² = a (a ≥ 0, b ≥ 0)
Örnekler:
√4 = 2 çünkü 2² = 4
√9 = 3 çünkü 3² = 9
√25 = 5 çünkü 5² = 25
√144 = 12 çünkü 12² = 144
Tam kare sayılar: Karekökü tam sayı olan sayılara tam kare sayı denir.
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144...
Önemli: Negatif sayıların karekökü reel sayılarda tanımlı değildir! √(-4) tanımsızdır.
Karekökte Temel Kurallar
Kareköklü ifadelerle işlem yaparken bilmeniz gereken kurallar:
1. Çarpımın karekökü: √(a × b) = √a × √b
Örnek: √12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3
2. Bölümün karekökü: √(a/b) = √a / √b
Örnek: √(9/16) = √9 / √16 = 3/4
3. Karekökün karesi: (√a)² = a
Örnek: (√7)² = 7
4. Karenin karekökü: √(a²) = |a|
Örnek: √((-5)²) = √25 = 5 = |-5|
5. Toplama/Çıkarma: √a + √b ≠ √(a+b) ⚠️
Dikkat: Karekökler toplamda dağıtılamaz!
📝 Kök İçini Sadeleştirme
Soru: √72 ifadesini en sade haliyle yazınız.
Çözüm:
72'yi tam kare çarpanlarına ayıralım:
72 = 36 × 2
√72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2
Yöntem: Kök içindeki sayının en büyük tam kare çarpanını bulun.
Daha fazla örnek:
√50 = √(25 × 2) = 5√2
√48 = √(16 × 3) = 4√3
√200 = √(100 × 2) = 10√2
√75 = √(25 × 3) = 5√3
💡 Hızlı Sadeleştirme Tekniği
Kök içini sadeleştirmek için sayıyı asal çarpanlarına ayırın ve çift olan üsleri kök dışına çıkarın.
Örnek: √180
180 = 2² × 3² × 5
√180 = 2 × 3 × √5 = 6√5
Kural: Asal çarpanlarda üs çift ise → kök dışına çıkar (üssün yarısı kadar)
Üs tek ise → bir tanesi kökte kalır
Paydada Kökten Kurtulma
Bir kesirin paydasında karekök varsa, paydayı kökten kurtarmamız gerekir. Buna rasyonelleştirme denir.
Basit durumda: Pay ve paydayı aynı köklü ifadeyle çarpın.
6/√3 = (6 × √3)/(√3 × √3) = 6√3/3 = 2√3
İki terimli paydada: Eşleniğiyle çarpın.
1/(√5 + √2) = (√5 - √2)/((√5 + √2)(√5 - √2)) = (√5 - √2)/(5 - 2) = (√5 - √2)/3
Eşlenik formülü: (√a + √b)(√a - √b) = a - b
📝 Rasyonelleştirme Örneği
Soru: 12/(√6) ifadesinin paydada kökten kurtulmuş halini bulunuz.
Çözüm:
Pay ve paydayı √6 ile çarpalım:
12/√6 = (12 × √6)/(√6 × √6) = 12√6/6 = 2√6
Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar
Rasyonel sayı: a/b şeklinde yazılabilen (b ≠ 0) sayılardır.
Örnekler: 3, -2, 1/4, 0.5, 0.333...
İrrasyonel sayı: a/b şeklinde yazılamayan sayılardır. Ondalık açılımları sonsuz ve düzensizdir.
Örnekler: √2, √3, √5, π, e
Nasıl ayırt edilir?
√4 = 2 → Rasyonel (tam kare)
√5 = 2.2360679... → İrrasyonel (tam kare değil)
√(9/16) = 3/4 → Rasyonel
Kural: Kök içindeki sayı tam kare ise rasyonel, değilse irrasyoneldir.
⚠️ Sık Yapılan Hatalar
1. Toplamda karekök dağıtmak:
√(9 + 16) ≠ √9 + √16 ✗
√25 = 5 ama 3 + 4 = 7 → Farklı sonuçlar!
2. Kök içini sadeleştirmemek:
Cevabı √8 olarak bırakmayın → 2√2 olarak yazın.
3. Negatif sayının karekökünü almak:
√(-9) tanımsızdır! √(-9) ≠ -3
4. √(a²) = a sanmak:
√((-3)²) = √9 = 3, -3 değil! Doğrusu |a| dır.
LGS Sınav Stratejisi
Kareköklü İfadeler, LGS'de her yıl 2-3 soru gelen kritik bir konudur.
Strateji:
1. Tam kare sayıları (1-225 arası) ezberleyin
2. Kök içini sadeleştirme pratiği yapın
3. Paydada kökten kurtulma adımlarını otomatikleştirin
4. Rasyonel-irrasyonel ayrımını net bilin
5. Sayı doğrusunda köklü sayıların yerini bulma sorularına hazır olun
Bu konu üslü ifadelerle birlikte düşünüldüğünde LGS'de 4-5 soru ediyor. İyi çalışmak büyük avantaj sağlar!